Упр.20.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите функцию, обратную к данной: $$y=\begin{cases}2-x^2, & \text{если } x?1,\\2-x, & \text{если } x<1.\end{cases}$$

Рассмотрим две ветви функции:

$$y= \begin{cases} 2-x^2, & x\ge 1,\\ 2-x, & x<1. \end{cases}$$

Найдём, какие значения принимает каждая ветвь.

1) При $$x\ge 1$$ имеем $$y=2-x^2$$. Так как $$x\ge 1$$, то $$x^2\ge 1$$, значит

$$y\le 2-1=1.$$

Следовательно, для этой ветви $$y\le 1$$, и тогда

$$y=2-x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2=2-y \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{2-y},$$

поскольку $$x\ge 1$$.

2) При $$x<1$$ имеем $$y=2-x$$. Тогда $$x=2-y$$. Из условия $$x<1$$ получаем

$$2-y<1 \quad \Rightarrow \quad y>1.$$

Значит, для этой ветви $$y>1$$, и обратная зависимость имеет вид $$x=2-y$$.

Меняя местами переменные, получаем обратную функцию:

$$f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt{2-x}, & x\le 1,\\ 2-x, & x>1. \end{cases}$$

Ответ

$$f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt{2-x}, & x\le 1,\\ 2-x, & x>1. \end{cases}$$