Упр.20.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите функцию, обратную к данной: $$y=\begin{cases}\sqrt{x-2},&\text{если }x\geq3,\\2x-5,&\text{если }x<3.\end{cases}$$

Рассмотрим функцию

$$y= \begin{cases} \sqrt{x-2}, & x\ge 3,\\ 2x-5, & x<3. \end{cases}$$

Найдём область значений каждой ветви.

Если $$x\ge 3,$$ то

$$y=\sqrt{x-2}\ge \sqrt{3-2}=1.$$

Если $$x<3,$$ то

$$y=2x-5<2\cdot 3-5=1.$$

Значит, при $$y\ge 1$$ исходная формула имеет вид $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда

$$y^2=x-2,\qquad x=y^2+2.$$

При $$y<1$$ имеем $$y=2x-5.$$ Тогда

$$2x=y+5,\qquad x=\frac{y+5}{2}.$$

Меняя местами переменные, получаем обратную функцию:

$$f^{-1}(x)= \begin{cases} x^2+2, & x\ge 1,\\ \dfrac{x+5}{2}, & x<1. \end{cases}$$

Ответ

$$y= \begin{cases} x^2+2, & x\ge 1,\\ \dfrac{x+5}{2}, & x<1. \end{cases}$$