Упр.20.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) y=3x-1; 2) y=x^2-4, если x?0; 3) y={(vx, если x?0, (1/2)x, если x < 0).

1. Для функции $$y=3x-1$$ найдём несколько точек:

   $$x=0 \Rightarrow y=-1,$$
   $$x=2 \Rightarrow y=5.$$

   График обратной функции получаем заменой $$x$$ и $$y$$ местами:

   $$x=3y-1,$$
   $$y=\frac{x+1}{3}.$$

   Значит, нужно построить прямые $$y=3x-1$$ и $$y=\frac{x+1}{3}$$ в одной системе координат.

2. Для функции $$y=x^2-4,\ x\ge 0$$ находим обратную:

   $$x=y^2-4,$$
   $$y^2=x+4,$$
   $$y=\sqrt{x+4}.$$

   Так как исходная функция задана при $$x\ge 0$$, то у обратной функции должно быть $$y\ge 0$$. Следовательно, обратная функция:

   $$y=\sqrt{x+4},\ x\ge -4.$$

   Для построения можно взять точки исходной функции:

   $$x=0 \Rightarrow y=-4,$$
   $$x=1 \Rightarrow y=-3,$$
   $$x=2 \Rightarrow y=0,$$
   $$x=3 \Rightarrow y=5.$$

   Точки обратной функции получаются перестановкой координат:

   $$(-4,0),\ (-3,1),\ (0,2),\ (5,3).$$

3. Для функции

   $$y= \begin{cases} \sqrt{x}, & x\ge 0,\\ \frac12 x, & x<0 \end{cases}$$

   обратную строим по частям.

   Если $$y=\sqrt{x}$$, то $$x=y^2$$, значит обратная ветвь:

   $$y=x^2,\ x\ge 0.$$

   Если $$y=\frac12 x$$, то $$x=2y$$, значит обратная ветвь:

   $$y=2x,\ x<0.$$

   Итак, обратная функция:

   $$y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0 \end{cases}$$

   Для построения удобно отметить точки:

   для $$y=\sqrt{x}$$: $$ (0,0),\ (1,1),\ (4,2),\ (9,3);$$
   
   для $$y=\frac12 x$$: $$(-4,-2),\ (0,0).$$

   У обратной функции соответствующие точки будут:

   $$ (0,0),\ (1,1),\ (2,4),\ (3,9),\ (-2,-4),\ (0,0).$$

Ответ

1) $$y=3x-1$$ и $$y=\frac{x+1}{3}$$.
2) $$y=x^2-4,\ x\ge 0$$; обратная: $$y=\sqrt{x+4},\ x\ge -4$$.
3) $$y= \begin{cases} \sqrt{x}, & x\ge 0,\\ \frac12 x, & x<0 \end{cases}$$; обратная: $$y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0 \end{cases}$$.