Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) y=-0,5x+2; 2) y=v(x+1); 3) y={(x, если x?0, 2x, если x < 0).

1. $$y=-0{,}5x+2$$

   Найдём две точки прямой:

   $$x=0 \Rightarrow y=2,$$

   $$y=0 \Rightarrow -0{,}5x+2=0 \Rightarrow x=4.$$

   Значит, график функции проходит через точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(4;0\right).$$

   Для обратной функции меняем местами $$x$$ и $$y$$:

   $$x=-0{,}5y+2,$$

   $$y=-2x+4.$$

   График обратной функции — прямая, симметричная данной относительно прямой $$y=x.$$

2. $$y=\sqrt{x+1}$$

   Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$

   Найдём несколько точек:

   $$x=0 \Rightarrow y=1,$$

   $$x=3 \Rightarrow y=2,$$

   $$x=8 \Rightarrow y=3.$$

   Для обратной функции:

   $$x=\sqrt{y+1},$$

   $$x^2=y+1,$$

   $$y=x^2-1.$$

   Так как у исходной функции $$y\ge 0,$$ то у обратной функции область определения: $$x\ge 0.$$

3. $$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases}$$

   Для ветви $$y=x$$ берём точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(4;4\right).$$

   Для ветви $$y=2x$$ берём точки $$\left(-2;-4\right)$$ и $$\left(0;0\right).$$

   Найдём обратную функцию по частям:

   если $$y=x$$ при $$x\ge 0,$$ то после замены переменных получаем $$y=x$$ при $$x\ge 0;$$

   если $$y=2x$$ при $$x<0,$$ то $$x=2y,$$ значит $$y=\dfrac{x}{2}$$ при $$x<0.$$

   Итак, обратная функция:

   $$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ \dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases}$$

Ответ

1) $$y=-0{,}5x+2$$, обратная: $$y=-2x+4$$.
2) $$y=\sqrt{x+1}$$, обратная: $$y=x^2-1,\ x\ge 0$$.
3) $$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0 \end{cases}$$, обратная: $$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ \dfrac{x}{2}, & x<0 \end{cases}$$.