Упр.2.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

f(x^2)-(f(x))^2?1/4.
Может ли функция f быть возрастающей или убывающей?

Из условия для любого $$x \in \mathbb{R}$$ выполняется неравенство

$$f(x^2)-(f(x))^2 \ge \frac14.$$

Подставим сначала $$x=0$$:

$$f(0^2)-(f(0))^2 \ge \frac14,$$

$$f(0)-(f(0))^2 \ge \frac14,$$

$$-(f(0))^2+f(0)-\frac14 \ge 0,$$

$$\left(f(0)-\frac12\right)^2 \le 0.$$

Так как квадрат числа неотрицателен, то

$$\left(f(0)-\frac12\right)^2=0,$$

откуда

$$f(0)=\frac12.$$

Теперь подставим $$x=1$$:

$$f(1^2)-(f(1))^2 \ge \frac14,$$

$$f(1)-(f(1))^2 \ge \frac14,$$

$$-(f(1))^2+f(1)-\frac14 \ge 0,$$

$$\left(f(1)-\frac12\right)^2 \le 0.$$

Следовательно,

$$f(1)=\frac12.$$

Получили, что

$$f(0)=f(1)=\frac12.$$

Но при этом $$0<1$$, а значения функции равны. Значит, функция не может быть ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ

Нет, функция не может быть ни возрастающей, ни убывающей.