Упр.2.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\left(x^3+1\right)^3=8(2x-1)$$.

Преобразуем уравнение:

$$(x^3+1)^3=8(2x-1)$$

$$\frac{(x^3+1)^3}{8}=2x-1$$

$$\left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3=2x-1$$

$$\left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3+1=2x$$

Введём функцию $$f(x)=\frac{x^3+1}{2}$$. Тогда уравнение можно записать в виде

$$f(f(x))=x.$$

Так как функция $$f(x)=\frac{x^3+1}{2}$$ возрастает, то из равенства $$f(f(x))=x$$ следует, что достаточно решить уравнение

$$f(x)=x.$$

Получаем:

$$\frac{x^3+1}{2}=x$$

$$x^3-2x+1=0$$

$$x^3-x-x+1=0$$

$$x(x^2-1)-(x-1)=0$$

$$x(x-1)(x+1)-(x-1)=0$$

$$(x-1)(x^2+x-1)=0$$

Отсюда

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+x-1=0.$$

Тогда

$$x=1$$

или

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.$$

Проверка показывает, что все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

$$1;\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$