Упр.2.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.47. Решите уравнение (x^3+1)^3=8(2x-1).

Преобразуем уравнение:

$$ (x^3+1)^3=8(2x-1) $$

$$ \frac{(x^3+1)^3}{8}=2x-1 $$

$$ \left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3=2x-1 $$

$$ \left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3+1=2x $$

Введём функцию $$f(x)=\frac{x^3+1}{2}$$. Тогда уравнение можно записать в виде

$$ f(f(x))=x. $$

Так как функция $$f(x)=\frac{x^3+1}{2}$$ возрастает, то из равенства $$f(f(x))=x$$ следует, что достаточно решить уравнение

$$ f(x)=x. $$

Получаем:

$$ \frac{x^3+1}{2}=x $$

$$ x^3-2x+1=0 $$

$$ x^3-x-x+1=0 $$

$$ x(x^2-1)-(x-1)=0 $$

$$ x(x-1)(x+1)-(x-1)=0 $$

$$ (x-1)(x^2+x-1)=0 $$

Отсюда

$$ x-1=0 \quad \text{или} \quad x^2+x-1=0. $$

Тогда

$$ x=1 $$

или

$$ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}. $$

Проверка показывает, что все найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

$$ 1;\ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$