Упр.2.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.46. Решите уравнение v(6+v(6+x))=x.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{6+x}.$$ Она возрастает на своей области определения, поэтому из уравнения

$$\sqrt{6+\sqrt{6+x}}=x$$

можно положить

$$f(f(x))=x.$$

Тогда достаточно решить уравнение

$$f(x)=x,$$

то есть

$$\sqrt{6+x}=x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$6+x=x^2,$$

$$x^2-x-6=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0.$$

Отсюда

$$x=3 \text{ или } x=-2.$$

Проверим область допустимых значений и исходное уравнение. Так как справа стоит корень, то $$x\ge 0.$$ Значит, значение $$x=-2$$ не подходит.

Проверка для $$x=3$$:

$$\sqrt{6+\sqrt{6+3}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3.$$

Следовательно, подходит только $$x=3.$$

Ответ

$$3$$