Упр.2.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех $$a\in[0;1]$$, $$b\in[0;1]$$, $$c\in[0;1]$$ выполняется неравенство $$abc+2\geq a+b+c$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$f(a)=\bigl(abc+2\bigr)-(a+b+c).$$

Преобразуем:

$$f(a)=abc+2-a-b-c=(bc-1)a+(2-b-c).$$

Так как $$a\in[0;1],$$ то функция $$f(a)$$ линейна по $$a$$, значит на отрезке $$[0;1]$$ её наименьшее значение достигается на концах.

Вычислим значения на концах:

$$f(0)=2-b-c\ge 0,$$

так как $$b\in[0;1],\ c\in[0;1].$$

$$f(1)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)\ge 0,$$

поскольку $$b-1\le 0$$ и $$c-1\le 0.$$

Следовательно, $$f(a)\ge 0$$ при всех $$a,b,c\in[0;1].$$ Значит,

$$abc+2\ge a+b+c.$$

Ответ

$$abc+2\ge a+b+c$$ при всех $$a,b,c\in[0;1].$$