Упр.2.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех $$x\in[1;2]$$, $$y\in[1;2]$$ выполняется неравенство $$3(x+y)\ge 2xy+4$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$f(x)=3(x+y)-(2xy+4).$$

Преобразуем:

$$f(x)=3x+3y-2xy-4=(3-2y)x+(3y-4).$$

При фиксированном $$y \in [1;2]$$ это линейная функция от $$x$$. Найдём её значения на концах отрезка $$[1;2]$$:

$$f(1)=(3-2y)\cdot 1+(3y-4)=y-1 \ge 0,$$

$$f(2)=(3-2y)\cdot 2+(3y-4)=2-y \ge 0.$$

Значит, на всём отрезке $$[1;2]$$ выполняется $$f(x)\ge 0$$, то есть

$$3(x+y)\ge 2xy+4.$$

Ответ

$$3(x+y)\ge 2xy+4.$$