Упр.2.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений: $$\begin{cases}2\sqrt{x+y}+(x+y)^4=3,\\x^2+y^2=1.\end{cases}$$

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2\sqrt{x+y}+(x+y)^4=3,\\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Обозначим $$t=x+y$$. Тогда первое уравнение принимает вид

$$2\sqrt{t}+t^4=3.$$

Рассмотрим функцию $$h(t)=2\sqrt{t}+t^4$$ при $$t\ge 0$$. Она возрастает, значит уравнение $$2\sqrt{t}+t^4=3$$ имеет единственное решение. Проверим $$t=1$$:

$$2\sqrt{1}+1^4=2+1=3.$$

Следовательно, $$x+y=1$$.

Тогда из второго уравнения системы получаем:

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$y=1-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(1-x)^2=1$$

$$x^2+1-2x+x^2=1$$

$$2x^2-2x=0$$

$$2x(x-1)=0.$$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1.$$

Если $$x=0$$, то $$y=1$$. Если $$x=1$$, то $$y=0$$.

Ответ

$$(0;1),\ (1;0).$$