Упр.2.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^7-y=y^7-x, \\ x^2+xy+y^2=12. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$x^7-y=y^7-x$$

$$x^7+x=y^7+y$$

Рассмотрим функцию $$h(t)=t^7+t$$. Она строго возрастает на всей числовой прямой, значит из равенства $$h(x)=h(y)$$ следует:

$$x=y$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x^2+xy+y^2=12$$

$$x^2+x^2+x^2=12$$

$$3x^2=12$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

Так как $$x=y$$, то:

$$y=\pm 2$$

Получаем пары решений:

$$(-2;\,-2),\ (2;\,2)$$

Ответ

$$(-2;\,-2),\ (2;\,2)$$