Упр.2.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.40. Решите уравнение |x-1|+|x+2|=v(9-x^2).

Рассмотрим функции

$$f(x)=|x-1|+|x+2|,\qquad g(x)=\sqrt{9-x^2}.$$

Область определения правой части: $$9-x^2\ge 0,$$ значит $$-3\le x\le 3.$$

Найдём значение левой части по промежуткам:

$$ x<-2:\quad |x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1; $$
$$ -2\le x<1:\quad |x-1|+|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3; $$
$$ x\ge 1:\quad |x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1. $$

Правая часть — верхняя полуокружность радиуса 3 с центром в начале координат. Её наибольшее значение равно $$3$$ и достигается при $$x=0.$$

Левая часть не меньше 3, причём

$$|x-1|+|x+2|=3 \quad \text{при} \quad -2\le x\le 1.$$

Чтобы уравнение

$$|x-1|+|x+2|=\sqrt{9-x^2}$$

имело решение, обе части должны быть равны 3. Это возможно только при $$x=0,$$ так как

$$\sqrt{9-0^2}=3,\qquad |0-1|+|0+2|=1+2=3.$$

Проверка показывает, что $$x=0$$ подходит.

Ответ

$$0$$