Упр.2.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.39. Решите уравнение |x+1|-|x|=v(x^4+1).

Рассмотрим функции

$$f(x)=|x+1|-|x|,\qquad g(x)=\sqrt{x^4+1}.$$

Найдём вид функции $$f(x)$$ по промежуткам:

если $$x<-1$$, то

$$f(x)=-(x+1)-(-x)=-1;$$

если $$-1\le x<0$$, то

$$f(x)=(x+1)-(-x)=2x+1;$$

если $$x\ge 0$$, то

$$f(x)=(x+1)-x=1.$$

Следовательно, $$f(x)\le 1$$ при всех $$x$$, причём максимум равен $$1$$.

Для функции $$g(x)$$ имеем

$$x^4\ge 0 \Rightarrow x^4+1\ge 1,$$

значит

$$g(x)=\sqrt{x^4+1}\ge 1.$$

Чтобы уравнение

$$|x+1|-|x|=\sqrt{x^4+1}$$

имело решение, нужно, чтобы обе части были равны $$1$$. Это возможно только при $$x=0$$:

$$|0+1|-|0|=1,$$

$$\sqrt{0^4+1}=1.$$

Проверка выполнена, значит $$x=0$$ — единственное решение.

Ответ

$$0$$