Упр.2.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x$$; 2) $$x^3+\sqrt{x}=\frac{2}{x}$$.

1. $$\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x$$

   Область определения: $$x-5\ge 0,$$ то есть $$x\ge 5.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-5}$$ и $$g(x)=23-2x.$$

   На промежутке $$[5;+\infty)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет не более одного решения.

   Проверим число $$x=9$$:

   $$\sqrt{9}+\sqrt{9-5}=3+2=5,$$

   $$23-2\cdot 9=23-18=5.$$

   Следовательно, $$x=9$$ — решение уравнения.

2. $$x^3+\sqrt{x}=\frac{2}{x}$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=x^3+\sqrt{x}$$ и $$g(x)=\frac{2}{x}.$$

   На промежутке $$(0;+\infty)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет не более одного решения.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$1^3+\sqrt{1}=1+1=2,$$

   $$\frac{2}{1}=2.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение уравнения.

Ответ

1) $$9$$; 2) $$1$$.