Упр.2.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y=(x-1)(x-a)^2$$ является возрастающей?

Найдём производную функции:

$$y=(x-1)(x-a)^2$$

$$y’=(x-a)^2+2(x-1)(x-a)$$

$$y’=(x-a)\bigl((x-a)+2(x-1)\bigr)=(x-a)(3x-a-2)$$

Чтобы функция была возрастающей при всех $$x$$, необходимо, чтобы производная не меняла знак и была неотрицательной на всей области определения. Для произведения двух линейных множителей это возможно только тогда, когда оба множителя имеют общий нуль, то есть

$$x-a=0 \quad \text{и} \quad 3x-a-2=0$$

для одного и того же $$x$$.

Из первого уравнения получаем $$x=a$$, подставим во второе:

$$3a-a-2=0$$

$$2a-2=0$$

$$a=1$$

Проверим: при $$a=1$$

$$y=(x-1)(x-1)^2=(x-1)^3,$$

а функция $$y=(x-1)^3$$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ

$$a=1$$