Упр.2.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите: 1) $$\min_{\mathbb R}(|x-1|+|x-3|)$$; 2) $$\max_{\mathbb R}(|x+2|-|x|)$$; 3) $$\max_{\mathbb R}\frac{1}{x^2+1}$$.

1. Рассмотрим функцию $$y=|x-1|+|x-3|.$$

   Разобьём числовую прямую на промежутки:

   Если $$x<1,$$ то

   $$y=-(x-1)-(x-3)=-2x+4.$$

   Если $$1\le x<3,$$ то

   $$y=(x-1)-(x-3)=2.$$

   Если $$x\ge 3,$$ то

   $$y=(x-1)+(x-3)=2x-4.$$

   Наименьшее значение функции равно $$2.$$

2. Рассмотрим функцию $$y=|x+2|-|x|.$$

   Если $$x<-2,$$ то

   $$y=-(x+2)+x=-2.$$

   Если $$-2\le x<0,$$ то

   $$y=(x+2)+x=2x+2.$$

   Если $$x\ge 0,$$ то

   $$y=(x+2)-x=2.$$

   Наибольшее значение функции равно $$2.$$

3. Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+1\ge 1,$$ значит

   $$\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$

   Равенство достигается при $$x=0.$$ Следовательно, наибольшее значение функции равно $$1.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$.