Упр.2.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) f(x)=-x^2-8x-3, M=R; 2) f(x)=v(2x-x^2), M=D(f).

1) $$f(x)=-x^2-8x-3,\quad M=\mathbb{R}.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0.$$

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot(-1)}=-4.$$

Вычислим значение функции в вершине:

$$f(-4)=-(-4)^2-8\cdot(-4)-3=-16+32-3=13.$$

Так как парабола направлена вниз, в вершине достигается максимум, а минимума на всей области определения нет.

2) $$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\quad M=D(f).$$

Найдём область определения:

$$2x-x^2\ge 0$$

$$x(2-x)\ge 0$$

$$0\le x\le 2.$$

На этом промежутке подкоренное выражение можно преобразовать:

$$2x-x^2=1-(x-1)^2.$$

Тогда

$$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^2}.$$

Наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

Наименьшее значение достигается на концах отрезка:

$$f(0)=\sqrt{0}=0,\qquad f(2)=\sqrt{0}=0.$$

Ответ

1) $$\max_{\mathbb{R}} f(x)=13,\quad \min_{\mathbb{R}} f(x)\text{ не существует}.$$

2) $$\max_{[0;2]} f(x)=1,\quad \min_{[0;2]} f(x)=0.$$