Упр.2.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Функция $$y=f(x)$$ является возрастающей. Верно ли утверждение, что возрастающей является функция: 1) $$y=(f(x))^2$$; 2) $$y=(f(x))^3$$?

1) Рассмотрим функцию $$y=(f(x))^2.$$

Так как $$f(x)$$ — возрастающая функция, то при $$x_2>x_1$$ имеем $$f(x_2)>f(x_1).$$

Но из возрастания $$f(x)$$ не следует, что значения $$f(x)$$ всегда положительны. Если, например, $$f(x_1)<f(x_2)\le 0,$$ то при возведении в квадрат знак не сохраняется:

$$|f(x_2)|<|f(x_1)|,$$

следовательно,

$$\bigl(f(x_2)\bigr)^2<\bigl(f(x_1)\bigr)^2.$$

Значит, функция $$y=(f(x))^2$$ не обязана быть возрастающей.

2) Рассмотрим функцию $$y=(f(x))^3.$$

При $$x_2>x_1$$ имеем $$f(x_2)>f(x_1).$$

Возведение в третью степень сохраняет порядок чисел, поэтому

$$\bigl(f(x_2)\bigr)^3>\bigl(f(x_1)\bigr)^3.$$

Следовательно, функция $$y=(f(x))^3$$ является возрастающей.

Ответ

1) нет; 2) да.