Упр.2.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$y=\frac{1}{-x^2-4}$$.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{-x^2-4}=-\frac{1}{x^2+4}.$$

Найдём, как меняется значение функции при переходе от $$x_1$$ к $$x_2$$, где $$x_2>x_1$$:

$$y(x_2)-y(x_1)= -\frac{1}{x_2^2+4}+\frac{1}{x_1^2+4} = \frac{x_2^2-x_1^2}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)} = \frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}.$$

Знаменатель всегда положителен, а $$x_2-x_1>0$$. Поэтому знак разности определяется знаком суммы $$x_2+x_1$$.

Если $$x_1,x_2\ge 0$$, то $$x_2+x_1>0$$, значит $$y(x_2)-y(x_1)>0$$ и функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.

Если $$x_1,x_2\le 0$$, то $$x_2+x_1<0$$, значит $$y(x_2)-y(x_1)<0$$ и функция убывает на $$(-\infty;0]$$.

Ответ

Функция возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0]$$.