Упр.2.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.20. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=1/(x^2+1).

Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$

Пусть $$x_2>x_1.$$ Тогда

$$ y(x_2)-y(x_1)=\frac{1}{x_2^2+1}-\frac{1}{x_1^2+1} =\frac{(x_1^2+1)-(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} =\frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}. $$

Преобразуем числитель:

$$ \frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} =\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}. $$

Знаменатель всегда положителен, а так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0.$$

Чтобы разность $$y(x_2)-y(x_1)$$ была положительной, нужно, чтобы $$x_1+x_2<0.$$ Это выполняется при $$x_2\le 0,$$ значит, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;0].$$

Если же $$x_1\ge 0,$$ то для любых $$x_2>x_1$$ имеем $$x_1+x_2>0,$$ следовательно, $$y(x_2)-y(x_1)<0,$$ и функция убывает на промежутке $$[0;+\infty).$$

Ответ

Возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty).$$