Упр.2.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- На рисунке 2.10 изображён график функции $$y=f(x)$$, определённой на множестве $$\mathbb{R}$$. Пользуясь графиком, найдите:
1) нули функции;
2) промежутки знакопостоянства функции;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) значения $$\max_{[0;2]} f(x)$$, $$\min_{[0;2]} f(x)$$, $$\max_{\mathbb{R}} f(x)$$, $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$, $$\max_{[-1;0)} f(x)$$, $$\min_{[-1;0)} f(x)$$.
1) По графику видно, что функция пересекает ось Ox в точках с абсциссами $$x=0$$ и $$x=2$$. Значит, нули функции:
$$x_1=0,\quad x_2=2.$$
2) На промежутке между нулями график расположен ниже оси Ox, а правее точки $$x=2$$ — выше оси Ox. Поэтому:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(2;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;2).$$
3) По графику функция возрастает слева до точки $$x=0$$, затем убывает на отрезке от $$0$$ до $$1$$, после чего снова возрастает.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty),$$
убывает на $$[0;1].$$
4) Найдём значения функции на указанных промежутках:
на $$[0;2]$$ наибольшее значение достигается при $$x=0$$, а наименьшее — при $$x=1$$:
$$\max_{[0;2]} f(x)=f(0)=0,$$
$$\min_{[0;2]} f(x)=f(1)=-2{,}5.$$
На всей числовой прямой наибольшего и наименьшего значений нет:
$$\max_{\mathbb R} f(x)\text{ — нет},\qquad \min_{\mathbb R} f(x)\text{ — нет}.$$
На промежутке $$[-1;0)$$ наибольшее значение не достигается, а наименьшее достигается при $$x=-1$$:
$$\max_{[-1;0)} f(x)\text{ — нет},$$
$$\min_{[-1;0)} f(x)=f(-1)=-2.$$
Ответ
1) $$x=0,\; x=2$$;
2) $$f(x)>0$$ при $$x\in(2;+\infty)$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)$$;
3) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$;
4) $$\max_{[0;2]} f(x)=0,\ \min_{[0;2]} f(x)=-2{,}5,\ \max_{\mathbb R} f(x)\text{ — нет},\ \min_{\mathbb R} f(x)\text{ — нет},\ \max_{[-1;0)} f(x)\text{ — нет},\ \min_{[-1;0)} f(x)=-2.$$
