Упр.2.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=\frac{k}{x}$$ убывает на каждом из промежутков $$(-?; 0)$$ и $$(0; +?)$$ при $$k>0$$ и возрастает на каждом из этих промежутков при $$k<0$$.

Функция $$y=\frac{k}{x}$$ определена на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

Возьмём любые две точки одного из этих промежутков: $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_2>x_1$$.

Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1} =\frac{kx_1-kx_2}{x_1x_2} =\frac{k(x_1-x_2)}{x_1x_2}.$$

Если $$x_1$$ и $$x_2$$ лежат на одном из промежутков $$(-\infty;0)$$ или $$(0;+\infty)$$, то произведение $$x_1x_2>0$$. Кроме того, при $$x_2>x_1$$ имеем $$x_1-x_2<0$$.

Следовательно:

• при $$k>0$$ число $$y(x_2)-y(x_1)<0$$, значит, $$y(x_2)<y(x_1)$$, то есть функция убывает;
• при $$k<0$$ число $$y(x_2)-y(x_1)>0$$, значит, $$y(x_2)>y(x_1)$$, то есть функция возрастает.

Итак, функция $$y=\frac{k}{x}$$ убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ при $$k>0$$ и возрастает на этих промежутках при $$k<0$$.

Ответ

При $$k>0$$ функция $$y=\frac{k}{x}$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$, а при $$k<0$$ — возрастает на этих промежутках.