Упр.2.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция:

1. $$y=\frac{7}{x+5}$$ убывает на промежутке $$(-5;\,+?)$$;
2. $$y=6x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-?;\,3]$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{7}{x+5}.$$

Пусть $$x_2>x_1>-5.$$ Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=\frac{7}{x_2+5}-\frac{7}{x_1+5} =\frac{7(x_1+5)-7(x_2+5)}{(x_2+5)(x_1+5)} =\frac{7(x_1-x_2)}{(x_2+5)(x_1+5)}.$$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а при $$x_1>-5$$ и $$x_2>-5$$ знаменатель положителен. Значит,

$$y(x_2)-y(x_1)<0,$$

то есть $$y(x_2)<y(x_1).$$ Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-5;+\infty).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=6x-x^2.$$

Пусть $$x_1<x_2\le 3.$$ Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=(6x_2-x_2^2)-(6x_1-x_1^2)$$
$$= x_1^2-x_2^2-6x_1+6x_2 =(x_1-x_2)(x_1+x_2)-6(x_1-x_2)$$
$$=(x_1-x_2)(x_1+x_2-6).$$

Так как $$x_1<x_2,$$ то $$x_1-x_2<0.$$ Кроме того, из $$x_2\le 3$$ следует $$x_1+x_2\le 6,$$ значит $$x_1+x_2-6\le 0.$$ Поэтому

$$y(x_2)-y(x_1)\ge 0.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;3].$$

Ответ

1) $$(-5;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;3].$$