Упр.2.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.14. Докажите, что функция y=x^n, где n?N, n — нечётное, является возрастающей.

Пусть $$x_1<x_2$$. Докажем, что при нечётном $$n\in \mathbb{N}$$ выполняется $$x_1^n<x_2^n$$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$0<x_1<x_2,$$ то

   $$\frac{x_2^n}{x_1^n}=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^n>1,$$

   значит, $$x_2^n>x_1^n.$$

2. Если $$x_1<x_2\le 0,$$ то $$|x_2|<|x_1|.$$

   Так как $$n$$ нечётное, то

   $$x_1^n=-|x_1|^n,\qquad x_2^n=-|x_2|^n.$$

   Из неравенства $$|x_2|<|x_1|$$ следует $$|x_2|^n<|x_1|^n,$$ значит,

   $$x_1^n<x_2^n.$$

3. Если $$x_1<0<x_2,$$ то при нечётном $$n$$ имеем

   $$x_1^n<0<x_2^n,$$

   следовательно, $$x_1^n<x_2^n.$$

4. Если $$x_1=0$$ и $$x_2>0,$$ то

   $$x_1^n=0,\qquad x_2^n>0,$$

   поэтому $$x_1^n<x_2^n.$$

Во всех случаях из $$x_1<x_2$$ следует $$x_1^n<x_2^n$$. Значит, функция $$y=x^n$$ при нечётном $$n$$ является возрастающей.

Ответ

Функция $$y=x^n$$, где $$n\in\mathbb{N}$$ и $$n$$ нечётное, является возрастающей.