Упр.19.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^12=a-6; 2) x^24=a^2+7a-8?

1) Рассмотрим уравнение $$x^{12}=a-6.$$

Левая часть неотрицательна при любом $$x$$, значит, для существования корней нужно и достаточно, чтобы

$$a-6\ge 0.$$

Если $$a-6>0,$$ то уравнение $$x^{12}=a-6$$ имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[12]{a-6}.$$

Если $$a-6=0,$$ то получаем $$x^{12}=0,$$ откуда один корень $$x=0.$$

Если $$a-6<0,$$ корней нет.

2) Рассмотрим уравнение $$x^{24}=a^2+7a-8.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому нужно и достаточно, чтобы

$$a^2+7a-8\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$a^2+7a-8=0,$$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

$$a_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},$$

откуда $$a_1=-8,\quad a_2=1.$$

Тогда

$$a^2+7a-8=(a+8)(a-1).$$

Следовательно,

$$a^2+7a-8>0 \iff a<-8 \text{ или } a>1,$$

а при $$a=-8$$ или $$a=1$$ правая часть равна нулю.

Значит, если $$a<-8$$ или $$a>1,$$ то уравнение имеет два корня; если $$a=-8$$ или $$a=1,$$ то один корень; если $$-8<a<1,$$ корней нет.

Ответ

1) Если $$a>6,$$ то два корня; если $$a=6,$$ то один корень; если $$a<6,$$ корней нет.

2) Если $$a<-8$$ или $$a>1,$$ то два корня; если $$a=-8$$ или $$a=1,$$ то один корень; если $$-8<a<1,$$ корней нет.