Упр.19.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

1) $$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$; 2) $$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$; 3) $$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$; 4) $$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$; 5) $$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$.

Подробный ответ

$$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} x+y=0,\\ x-3=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=3$$, $$y=-3$$.
$$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$
Преобразуем:
$$(x+2y-3)^2+(x-2y)^2=0.$$
Тогда
$$\begin{cases} x+2y-3=0,\\ x-2y=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=2y$$. Подставим в первое:
$$2y+2y-3=0,\quad 4y=3,\quad y=\frac34.$$
Тогда
$$x=2\cdot \frac34=\frac32.$$
$$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$
Сумма неотрицательных выражений равна нулю, значит каждое из них равно нулю:
$$\begin{cases} x-3y-6=0,\\ 9x+6y-32=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=3y+6$$. Подставим во второе:
$$9(3y+6)+6y-32=0,$$
$$27y+54+6y-32=0,\quad 33y=-22,\quad y=-\frac23.$$
Тогда
$$x=3\cdot\left(-\frac23\right)+6=4.$$
$$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$
Дополняем до квадратов:
$$(x^2+10x+25)+(y^2-12y+36)=0,$$
$$(x+5)^2+(y-6)^2=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x+5=0,\\ y-6=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=-5$$, $$y=6$$.
$$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$
Преобразуем:
$$(25x^2-30xy+9y^2)+(y^2+8y+16)=0,$$
$$(5x-3y)^2+(y+4)^2=0.$$
Тогда
$$\begin{cases} 5x-3y=0,\\ y+4=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$y=-4$$. Подставим в первое:
$$5x-3(-4)=0,\quad 5x+12=0,\quad x=-\frac{12}{5}.$$