Упр.19.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$5x^{17}-3x^8=2$$.

Решим уравнение:

$$5x^{17}-3x^8=2.$$

Так как при $$x=0$$ левая часть равна $$0$$, а правая — $$2$$, то $$x\neq 0$$. Разделим обе части уравнения на $$x^{17}$$:

$$5-\frac{3}{x^9}=\frac{2}{x^{17}}.$$

Положим $$t=\frac{1}{x}.$$ Тогда получим:

$$2t^{17}+3t^9=5.$$

Рассмотрим функцию

$$f(t)=2t^{17}+3t^9.$$

Она строго возрастает на всей числовой прямой, так как

$$f'(t)=34t^{16}+27t^8\ge 0,$$

и при этом равенство нулю возможно только при $$t=0,$$ поэтому функция монотонно возрастает.

Проверим значение $$t=1$$:

$$f(1)=2\cdot 1^{17}+3\cdot 1^9=2+3=5.$$

Значит, уравнение $$2t^{17}+3t^9=5$$ имеет единственное решение:

$$t=1.$$

Тогда

$$\frac{1}{x}=1,$$

откуда

$$x=1.$$

Ответ

$$1$$