Упр.19.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 19.23. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^8 на промежутке [-1; a].

Функция $$f(x)=x^8$$ чётная, при этом на промежутке $$(-\infty;0]$$ она убывает, а на промежутке $$[0;+\infty)$$ возрастает.

Рассмотрим возможные случаи для отрезка $$[-1;a]$$.

1. Если $$-1<a\le 0$$, то весь промежуток лежит слева от нуля. Тогда функция убывает, значит

   $$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(a)=a^8,$$

   $$\max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(-1)=1.$$

2. Если $$0<a\le 1$$, то на отрезке есть точка $$x=0$$, где функция принимает наименьшее значение:

   $$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(0)=0,$$

   $$\max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(-1)=1.$$

3. Если $$a>1$$, то на отрезке есть точка $$x=0$$, а на положительной части функция возрастает. Поэтому

   $$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(0)=0,$$

   $$\max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(a)=a^8.$$

Ответ

Если $$-1<a\le 0$$, то $$\min f(x)=a^8,\ \max f(x)=1$$;
если $$0<a\le 1$$, то $$\min f(x)=0,\ \max f(x)=1$$;
если $$a>1$$, то $$\min f(x)=0,\ \max f(x)=a^8$$.