Упр.19.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^11+x^3=2; 2) 2x^4+x^10=3.

1. Рассмотрим уравнение $$x^{11}+x^3=2.$$

   Функция $$f(x)=x^{11}+x^3$$ строго возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как оба слагаемых возрастают при всех $$x$$.

   Значит, уравнение может иметь только один корень. Проверим $$x=1$$:

   $$1^{11}+1^3=1+1=2.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.

2. Рассмотрим уравнение $$2x^4+x^{10}=3.$$

   Положим $$t=x^4$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^{10}=x^4\cdot x^6=t\cdot x^6$$, но удобнее заметить, что при $$x=1$$ и $$x=-1$$ левая часть равна 3. Проверим структуру уравнения через функцию

   $$f(x)=2x^4+x^{10}.$$

   Она чётная, так как

   $$f(-x)=2(-x)^4+(-x)^{10}=2x^4+x^{10}=f(x).$$

   На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция возрастает, поэтому уравнение $$2x^4+x^{10}=3$$ имеет единственное положительное решение $$x=1$$:

   $$2\cdot 1^4+1^{10}=2+1=3.$$

   Так как функция чётная, то вместе с ним подходит и $$x=-1$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=-1,\ 1$$.