Упр.18.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\frac{x^2+6}{4}\geq\sqrt{x^2+2}$$.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+6}{4}\ge \sqrt{x^2+2}.$$

Применим неравенство Коши к числам $$x^2+2$$ и $$4$$:

$$\frac{(x^2+2)+4}{2}\ge \sqrt{(x^2+2)\cdot 4}.$$

Тогда

$$\frac{x^2+6}{2}\ge 2\sqrt{x^2+2}.$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$\frac{x^2+6}{4}\ge \sqrt{x^2+2}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{x^2+6}{4}\ge \sqrt{x^2+2}.$$