Упр.18.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$x \geq 0$$, $$y \geq 0$$, то $$(x+1)(y+1)(xy+1) \geq 8xy$$.

Так как $$x \ge 0$$ и $$y \ge 0,$$ применим неравенство $$\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a}$$ при $$a \ge 0.$$

Тогда для $$a=x,$$ $$a=y$$ и $$a=xy$$ получаем:

$$x+1 \ge 2\sqrt{x},$$
$$y+1 \ge 2\sqrt{y},$$
$$xy+1 \ge 2\sqrt{xy}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$(x+1)(y+1)(xy+1) \ge 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{y}\cdot 2\sqrt{xy}.$$

Упростим правую часть:

$$2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{y}\cdot 2\sqrt{xy} = 8\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{xy} = 8xy.$$

Следовательно,

$$(x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy.$$

Ответ

$$(x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy.$$