Упр.18.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.7. Докажите, что если x?0, y?0, то (x+1)(y+1)(xy+1)?8xy.

Так как $$x \ge 0$$ и $$y \ge 0,$$ применим неравенство $$\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a}$$ при $$a \ge 0.$$

Тогда для $$a=x,$$ $$a=y$$ и $$a=xy$$ получаем:

$$x+1 \ge 2\sqrt{x},$$
$$y+1 \ge 2\sqrt{y},$$
$$xy+1 \ge 2\sqrt{xy}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$ (x+1)(y+1)(xy+1) \ge 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{y}\cdot 2\sqrt{xy}. $$

Упростим правую часть:

$$ 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{y}\cdot 2\sqrt{xy} = 8\sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{xy} = 8xy. $$

Следовательно,

$$ (x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy. $$

Ответ

$$ (x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy. $$