Упр.18.68 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.68. Докажите, что при любом натуральном значении n дробь (12n+1)/(30n+2) является несократимой.

Обозначим

$$d=\gcd(30n+2,\;12n+1).$$

Тогда $$d$$ делит и разность этих чисел:

$$ (30n+2)-2(12n+1)=6n. $$

Значит, $$d$$ делит и $$6n$$, и число $$12n+1$$. Тогда

$$ d=\gcd(6n,\;12n+1). $$

Вычтем из второго числа удвоенное первое:

$$ (12n+1)-2\cdot 6n=1. $$

Следовательно, $$d$$ делит число $$1$$, а значит,

$$d=1.$$

Итак, числитель и знаменатель дроби взаимно просты, поэтому дробь $$\dfrac{12n+1}{30n+2}$$ несократима при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$\dfrac{12n+1}{30n+2}$$ — несократимая дробь при любом натуральном $$n$$.