Упр.18.67 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.67. При каких значениях параметра а уравнение (vx-a)(4x-9)=0 имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-a\right)(4x-9)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a \Rightarrow x=a^2.$$

Это решение существует только при $$a\ge 0.$$

2) $$4x-9=0 \Rightarrow x=\frac{9}{4}.$$

Чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы:

• либо первое уравнение не имело решений, то есть $$a<0$$;
• либо оба корня совпадали: $$a^2=\frac{9}{4}.$$

Из равенства $$a^2=\frac{9}{4}$$ получаем

$$a=\pm \frac{3}{2}.$$

Но с учётом условия существования первого корня подходит только $$a=\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$a<0 \text{ или } a=\frac{3}{2}.$$