Упр.18.66 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

v(a/(b+c))+v(b/(c+a))+v(c/(a+b)) > 2.

Пусть $$x>0,\ y>0,\ z>0.$$ Тогда по неравенству между средним геометрическим и гармоническим

$$\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge \frac{2x}{x+y+z}.$$

Применим это к каждому слагаемому исходного выражения:

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge \frac{2a}{a+b+c},$$

$$\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge \frac{2b}{a+b+c},$$

$$\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge \frac{2c}{a+b+c}.$$

Складывая, получаем

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2.$$

Равенство в применённой оценке возможно только при $$a=b+c,\ b=c+a,\ c=a+b,$$ что при $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ невозможно. Значит, неравенство строгое.

Ответ

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2.$$