Упр.18.65 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1/a+1/b+4/c+16/d?64/(a+b+c+d).

Используем неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных чисел $$x$$ и $$y$$:

$$\frac{x+y}{2}\ge \frac{2}{\frac1x+\frac1y}.$$

Отсюда

$$\frac1x+\frac1y\ge \frac{4}{x+y}.$$

Применим это последовательно к парам $$a,b$$ и $$c,d$$:

$$\frac1a+\frac1b\ge \frac{4}{a+b},$$

$$\frac4c+\frac{16}{d}\ge \frac{16}{c+d}.$$

Тогда

$$\frac1a+\frac1b+\frac4c+\frac{16}{d}\ge \frac{4}{a+b}+\frac{16}{c+d}.$$

Теперь применим то же неравенство к числам $$a+b$$ и $$c+d$$:

$$\frac{4}{a+b}+\frac{16}{c+d}\ge \frac{64}{a+b+c+d}.$$

Следовательно,

$$\frac1a+\frac1b+\frac4c+\frac{16}{d}\ge \frac{64}{a+b+c+d}.$$

Ответ

$$\frac1a+\frac1b+\frac4c+\frac{16}{d}\ge \frac{64}{a+b+c+d}.$$