Упр.18.64 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)?(1/2)(x+y+z).

Применим неравенство Коши–Буняковского в виде

$$ \left(\frac{x}{\sqrt{y+z}}\sqrt{y+z}+\frac{y}{\sqrt{z+x}}\sqrt{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x+y}}\sqrt{x+y}\right)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)\bigl((y+z)+(z+x)+(x+y)\bigr). $$

Левая часть равна

$$ (x+y+z)^2, $$

а сумма в последнем множителе:

$$ (y+z)+(z+x)+(x+y)=2(x+y+z). $$

Тогда

$$ (x+y+z)^2 \le \left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)2(x+y+z). $$

Так как $$x+y+z>0$$, делим обе части на $$2(x+y+z)$$:

$$ \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge \frac12(x+y+z). $$

Ответ

$$ \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge \frac12(x+y+z). $$