Упр.18.63 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$ и $$a+b+c=1$$, то $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq8(1-a)(1-b)(1-c)$$.

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{(1-a)+(1-b)}{2}\ge \sqrt{(1-a)(1-b)}.$$

Так как $$a+b+c=1,$$ то

$$\frac{(1-a)+(1-b)}{2}=\frac{2-(a+b)}{2}=\frac{1+c}{2}.$$

Следовательно,

$$1+c\ge 2\sqrt{(1-a)(1-b)}.$$

Аналогично получаем:

$$1+a\ge 2\sqrt{(1-b)(1-c)},$$

$$1+b\ge 2\sqrt{(1-a)(1-c)}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{(1-a)(1-b)}\sqrt{(1-b)(1-c)}\sqrt{(1-a)(1-c)}.$$

Подкоренные выражения перемножаются так:

$$\sqrt{(1-a)(1-b)}\sqrt{(1-b)(1-c)}\sqrt{(1-a)(1-c)}=(1-a)(1-b)(1-c).$$

Тогда

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c).$$

Ответ

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8(1-a)(1-b)(1-c).$$