Упр.18.62 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ квадрата $$ABCD$$ соответственно отметили точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$. Докажите, что периметр четырёхугольника $$MNPQ$$ не меньше суммы диагоналей квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $$1$$. Обозначим:

$$AM=x,\quad BN=y,\quad CP=z,\quad DQ=t,$$

тогда

$$MB=1-x,\quad CN=1-y,\quad PD=1-z,\quad AQ=1-t.$$

Длины сторон четырёхугольника $$MNPQ$$ выражаются так:

$$MN=\sqrt{x^2+(1-y)^2},$$

$$NP=\sqrt{y^2+(1-z)^2},$$

$$PQ=\sqrt{z^2+(1-t)^2},$$

$$QM=\sqrt{t^2+(1-x)^2}.$$

Тогда периметр

$$P_{MNPQ}=\sqrt{x^2+(1-y)^2}+\sqrt{y^2+(1-z)^2}+\sqrt{z^2+(1-t)^2}+\sqrt{t^2+(1-x)^2}.$$

По неравенству $$\sqrt{a^2+b^2}\ge \dfrac{a+b}{\sqrt2}$$ получаем:

$$\sqrt{x^2+(1-y)^2}\ge \frac{x+(1-y)}{\sqrt2},\quad \sqrt{y^2+(1-z)^2}\ge \frac{y+(1-z)}{\sqrt2},$$

$$\sqrt{z^2+(1-t)^2}\ge \frac{z+(1-t)}{\sqrt2},\quad \sqrt{t^2+(1-x)^2}\ge \frac{t+(1-x)}{\sqrt2}.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$P_{MNPQ}\ge \frac{x+(1-y)+y+(1-z)+z+(1-t)+t+(1-x)}{\sqrt2} = \frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

Но диагонали квадрата со стороной $$1$$ равны:

$$AC=BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,$$

значит

$$AC+BD=2\sqrt2.$$

Следовательно,

$$P_{MNPQ}\ge AC+BD.$$

Ответ

$$P_{MNPQ}\ge AC+BD.$$