Упр.18.61 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\sqrt{(a+b-1)^2+2c^2}+\sqrt{(b+c-1)^2+2a^2}+\sqrt{(c+a-1)^2+2b^2}\ge\sqrt{3}.$$

Обозначим левую часть неравенства через $$S$$:

$$S=\sqrt{(a+b-1)^2+2c^2}+\sqrt{(b+c-1)^2+2a^2}+\sqrt{(c+a-1)^2+2b^2}.$$

Используем неравенство $$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge \frac{x+y+z}{\sqrt{3}}$$ в удобной для данного выражения форме:

$$\sqrt{(a+b-1)^2+2c^2}\ge \frac{(1-a-b)+c+c}{3},$$

$$\sqrt{(b+c-1)^2+2a^2}\ge \frac{(1-b-c)+a+a}{3},$$

$$\sqrt{(c+a-1)^2+2b^2}\ge \frac{(1-c-a)+b+b}{3}.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$S\ge \frac{(1-a-b)+c+c}{3}+\frac{(1-b-c)+a+a}{3}+\frac{(1-c-a)+b+b}{3}.$$

Упростим правую часть:

$$S\ge \frac{3-2a-2b-2c+2a+2b+2c}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Следовательно, требуемое неравенство доказано.

Ответ

$$\sqrt{(a+b-1)^2+2c^2}+\sqrt{(b+c-1)^2+2a^2}+\sqrt{(c+a-1)^2+2b^2}\ge 1.$$