Упр.18.60 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a \geq 0$$ и $$b \geq 0$$, то $$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \geq 2\sqrt{a+b}$$.

Используем неравенство

$$\sqrt{\frac{x^2+1}{2}} \ge \frac{x+1}{2}.$$

Тогда при $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$ получаем:

$$\sqrt{a^2+1} \ge \frac{a+1}{\sqrt{2}}, \qquad \sqrt{b^2+1} \ge \frac{b+1}{\sqrt{2}}.$$

Сложим эти неравенства:

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \ge \frac{a+b+2}{\sqrt{2}}.$$

Теперь применим неравенство $$\sqrt{2x} \le x+1$$ при $$x \ge 0$$ к числу $$x=a+b$$:

$$\frac{a+b+2}{\sqrt{2}} \ge 2\sqrt{a+b}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \ge 2\sqrt{a+b}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}\ge 2\sqrt{a+b}.$$