Упр.18.60 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.60. Докажите, что если a?0 и b?0, то v(a^2+1)+v(b^2+1)?2v(a+b).

Используем неравенство

$$\sqrt{\frac{x^2+1}{2}} \ge \frac{x+1}{2}.$$

Тогда при $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$ получаем:

$$\sqrt{a^2+1} \ge \frac{a+1}{\sqrt{2}}, \qquad \sqrt{b^2+1} \ge \frac{b+1}{\sqrt{2}}.$$

Сложим эти неравенства:

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \ge \frac{a+b+2}{\sqrt{2}}.$$

Теперь применим неравенство $$\sqrt{2x} \le x+1$$ при $$x \ge 0$$ к числу $$x=a+b$$:

$$\frac{a+b+2}{\sqrt{2}} \ge 2\sqrt{a+b}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1} \ge 2\sqrt{a+b}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}\ge 2\sqrt{a+b}.$$