Упр.18.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a^2+1/(bc))(b^2+1/(ca))(c^2+1/(ab))?8.

Рассмотрим неравенство вида $$x^2+\frac{1}{yz}\ge \frac{2x}{\sqrt{yz}}$$ при $$x>0,\ y>0,\ z>0.$$ Оно следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{x^2+\frac{1}{yz}}{2}\ge \sqrt{x^2\cdot \frac{1}{yz}}=\frac{x}{\sqrt{yz}}.$$

Значит,

$$x^2+\frac{1}{yz}\ge \frac{2x}{\sqrt{yz}}.$$

Применим это к каждому множителю исходного выражения:

$$a^2+\frac{1}{bc}\ge \frac{2a}{\sqrt{bc}},$$

$$b^2+\frac{1}{ca}\ge \frac{2b}{\sqrt{ca}},$$

$$c^2+\frac{1}{ab}\ge \frac{2c}{\sqrt{ab}}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$\left(a^2+\frac{1}{bc}\right)\left(b^2+\frac{1}{ca}\right)\left(c^2+\frac{1}{ab}\right)\ge \frac{2a}{\sqrt{bc}}\cdot \frac{2b}{\sqrt{ca}}\cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{2a}{\sqrt{bc}}\cdot \frac{2b}{\sqrt{ca}}\cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}=8\cdot \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2c^2}}=8.$$

Следовательно,

$$\left(a^2+\frac{1}{bc}\right)\left(b^2+\frac{1}{ca}\right)\left(c^2+\frac{1}{ab}\right)\ge 8.$$

Ответ

$$\left(a^2+\frac{1}{bc}\right)\left(b^2+\frac{1}{ca}\right)\left(c^2+\frac{1}{ab}\right)\ge 8.$$