Упр.18.59 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a+b=1$$. Докажите, что $$\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}$$.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

Так как $$a+b=1,$$ то

$$\frac12\ge \sqrt{ab}, \qquad ab\le \frac14.$$

Рассмотрим сумму:

$$\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2.$$

По неравенству между средним квадратичным и средним арифметическим:

$$\sqrt{\frac{\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2}{2}}\ge \frac{\left(a+\frac1b\right)+\left(b+\frac1a\right)}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2}{2}\ge \frac{\left(a+b+\frac1a+\frac1b\right)^2}{4}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}=\frac1{ab},$$

значит

$$\frac{\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2}{2}\ge \frac{\left(1+\frac1{ab}\right)^2}{4}.$$

Так как $$ab\le \frac14,$$ то $$\frac1{ab}\ge 4,$$ и потому

$$\frac{\left(1+\frac1{ab}\right)^2}{4}\ge \frac{(1+4)^2}{4}=\frac{25}{4}.$$

Следовательно,

$$\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2\ge \frac{25}{2}.$$

Ответ

$$\left(a+\frac1b\right)^2+\left(b+\frac1a\right)^2\ge \frac{25}{2}.$$