Упр.18.58 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}.$$

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

Также применим его к числам $$\sqrt a$$ и $$\sqrt b$$:

$$\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2}{2}}\ge \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge 2\sqrt{ab}\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2}.$$

Упростим правую часть:

$$2\sqrt{ab}\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2} =\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b) =a\sqrt b+b\sqrt a.$$

Следовательно,

$$(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge a\sqrt b+b\sqrt a.$$

Ответ

$$(a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge a\sqrt b+b\sqrt a.$$