Упр.18.58 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.58. Докажите, что если a > 0 и b > 0, то (a+b)v((a+b)/2)?avb+bva.

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

Также применим его к числам $$\sqrt a$$ и $$\sqrt b$$:

$$\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2}{2}}\ge \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$ (a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}} \ge 2\sqrt{ab}\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2}. $$

Упростим правую часть:

$$ 2\sqrt{ab}\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt b}{2} =\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b) =a\sqrt b+b\sqrt a. $$

Следовательно,

$$ (a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge a\sqrt b+b\sqrt a. $$

Ответ

$$ (a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge a\sqrt b+b\sqrt a. $$