Упр.18.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x^2+3y^2+z^2=2$$. Докажите неравенство $$\left|2x+y-z\right|\le 4\sqrt{\frac{2}{3}}$$.

По неравенству Коши — Буняковского имеем

$$(2x+y-z)^2=\left(2x+\frac{1}{\sqrt3}\cdot \sqrt3\,y-z\right)^2 \le \left(2^2+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+(-1)^2\right)(x^2+3y^2+z^2).$$

Так как $$x^2+3y^2+z^2=2,$$ то

$$(2x+y-z)^2 \le \left(4+\frac13+1\right)\cdot 2 = \frac{16}{3}\cdot 2 = \frac{32}{3}.$$

Следовательно,

$$|2x+y-z|\le \sqrt{\frac{32}{3}}=4\sqrt{\frac23}.$$

Ответ

$$|2x+y-z|\le 4\sqrt{\frac23}.$$