Упр.18.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$2\sqrt{x-1}+5x=\sqrt{(x^2+4)(x+24)}$$.

Обозначим

$$a=2\sqrt{x-1}, \qquad b=5x.$$

Тогда данное уравнение имеет вид

$$a+b=\sqrt{(x^2+4)(x+24)}.$$

По неравенству Коши–Буняковского

$$(a+b)^2\le (2^2+x^2)\left((x-1)+5^2\right).$$

Следовательно,

$$(2\sqrt{x-1}+5x)^2\le (x^2+4)(x+24).$$

Значит, равенство возможно только при выполнении условия равенства в неравенстве Коши–Буняковского:

$$\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{x-1}}{x}.$$

Отсюда

$$2x=5\sqrt{x-1}.$$

Возведём в квадрат:

$$4x^2=25(x-1),$$

$$4x^2-25x+25=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=25^2-4\cdot 4\cdot 25=625-400=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{25\pm 15}{8}.$$

$$x_1=\frac{10}{8}=\frac54,\qquad x_2=\frac{40}{8}=5.$$

Проверим оба значения:

$$x=\frac54:\quad 2\sqrt{\frac54-1}+5\cdot \frac54=1+\frac{25}{4}\ne \sqrt{\left(\frac{25}{16}+4\right)\left(\frac54+24\right)};$$

$$x=5:\quad 2\sqrt{5-1}+5\cdot 5=4+25=\sqrt{(25+4)(5+24)}.$$

Подходит только значение $$x=5$$.

Ответ

$$x=5$$