Упр.18.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.54. Решите уравнение 2v(x-1)+5x=v((x^2+4)(x+24)).

Обозначим

$$a=2\sqrt{x-1}, \qquad b=5x.$$

Тогда данное уравнение имеет вид

$$a+b=\sqrt{(x^2+4)(x+24)}.$$

По неравенству Коши–Буняковского

$$ (a+b)^2\le (2^2+x^2)\left((x-1)+5^2\right). $$

Следовательно,

$$ (2\sqrt{x-1}+5x)^2\le (x^2+4)(x+24). $$

Значит, равенство возможно только при выполнении условия равенства в неравенстве Коши–Буняковского:

$$ \frac{2}{5}=\frac{\sqrt{x-1}}{x}. $$

Отсюда

$$ 2x=5\sqrt{x-1}. $$

Возведём в квадрат:

$$ 4x^2=25(x-1), $$

$$ 4x^2-25x+25=0. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=25^2-4\cdot 4\cdot 25=625-400=225, $$

$$ x_{1,2}=\frac{25\pm 15}{8}. $$

$$ x_1=\frac{10}{8}=\frac54,\qquad x_2=\frac{40}{8}=5. $$

Проверим оба значения:

$$ x=\frac54:\quad 2\sqrt{\frac54-1}+5\cdot \frac54=1+\frac{25}{4}\ne \sqrt{\left(\frac{25}{16}+4\right)\left(\frac54+24\right)}; $$

$$ x=5:\quad 2\sqrt{5-1}+5\cdot 5=4+25=\sqrt{(25+4)(5+24)}. $$

Подходит только значение $$x=5$$.

Ответ

$$x=5$$