Упр.18.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.53. Решите уравнение v(1-x)+v(1+x)=x^2+2.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=x^2+2.$$

Область определения: $$-1\le x\le 1.$$

По неравенству Коши–Буняковского имеем

$$\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2\le (1+1)\bigl((1-x)+(1+x)\bigr).$$

Тогда

$$\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2\le 2\cdot 2=4,$$

значит

$$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\le 2.$$

С другой стороны, правая часть уравнения при $$-1\le x\le 1$$ удовлетворяет неравенству

$$x^2+2\ge 2.$$

Чтобы равенство было возможно, нужно одновременно иметь

$$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2 \quad \text{и} \quad x^2+2=2.$$

Из второго равенства получаем

$$x^2=0,\quad x=0.$$

Проверим:

$$\sqrt{1-0}+\sqrt{1+0}=1+1=2,$$

$$0^2+2=2.$$

Равенство выполняется.

Ответ

$$x=0.$$