Упр.18.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$$.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11.$$

Область определения:

$$x-2\ge 0,\quad 4-x\ge 0,$$

откуда

$$2\le x\le 4.$$

Применим неравенство Коши:

$$\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le (1+1)\bigl((x-2)+(4-x)\bigr)=4,$$

значит

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2.$$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2\ge 2.$$

Следовательно, левая часть не больше $$2$$, а правая часть не меньше $$2$$. Равенство возможно только при

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2 \quad \text{и} \quad x^2-6x+11=2.$$

Из второго равенства:

$$x^2-6x+9=0,$$

$$\left(x-3\right)^2=0,$$

$$x=3.$$

Проверка:

$$\sqrt{3-2}+\sqrt{4-3}=1+1=2,$$

$$3^2-6\cdot 3+11=9-18+11=2.$$

Равенство выполняется.

Ответ

$$x=3.$$