Упр.18.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a}<9$$.

Обозначим

$$x=\sqrt{2a+5},\quad y=\sqrt{a-3},\quad z=\sqrt{25-3a}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$x+y+z<9.$$

По неравенству Коши–Буняковского имеем

$$(x+y+z)^2\le (1+1+1)(x^2+y^2+z^2).$$

Следовательно,

$$(\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a})^2 \le 3\bigl((2a+5)+(a-3)+(25-3a)\bigr).$$

Упростим правую часть:

$$(2a+5)+(a-3)+(25-3a)=27.$$

Тогда

$$(\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a})^2\le 3\cdot 27=81,$$

значит

$$\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a}\le 9.$$

Равенство в неравенстве Коши возможно только при

$$\sqrt{2a+5}=\sqrt{a-3}=\sqrt{25-3a}.$$

Тогда

$$2a+5=a-3,\qquad a-3=25-3a.$$

Из первого уравнения получаем

$$a=-8,$$

из второго —

$$4a=28,\qquad a=7.$$

Одновременно эти равенства выполняться не могут, значит равенство невозможно. Следовательно,

$$\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a}<9.$$

Ответ

$$\sqrt{2a+5}+\sqrt{a-3}+\sqrt{25-3a}<9.$$