Упр.18.50 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a+b+c=3$$, то $$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge 6$$.

Рассмотрим сумму

$$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}.$$

По неравенству Коши — Буняковского имеем:

$$\left(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\right)^2 \le (1+1+1)\bigl((3a+1)+(3b+1)+(3c+1)\bigr).$$

Так как $$a+b+c=3,$$ то

$$\bigl((3a+1)+(3b+1)+(3c+1)\bigr)=3(a+b+c)+3=3\cdot 3+3=12.$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\right)^2 \le 3\cdot 12=36,$$

откуда

$$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\le 6.$$

Ответ

$$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\le 6.$$