Упр.18.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.5. Докажите, что если a?0 и b?0, то (a^3+b)(b^3+a)?4a^2 b^2.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел имеем:

$$\frac{a^3+b}{2}\ge \sqrt{a^3b},$$

откуда

$$a^3+b\ge 2\sqrt{a^3b}.$$

Аналогично:

$$\frac{b^3+a}{2}\ge \sqrt{b^3a},$$

значит

$$b^3+a\ge 2\sqrt{b^3a}.$$

Перемножим полученные неравенства:

$$ (a^3+b)(b^3+a)\ge 4\sqrt{a^3b}\cdot \sqrt{b^3a}. $$

Так как

$$\sqrt{a^3b}\cdot \sqrt{b^3a}=\sqrt{a^4b^4}=a^2b^2,$$

то

$$ (a^3+b)(b^3+a)\ge 4a^2b^2. $$

Ответ

$$ (a^3+b)(b^3+a)\ge 4a^2b^2. $$